Chemie

Fresnel'sche Betrachtungsweise der Interferenz (Beugung)


Ein Beispiel für die Fresnel'sche Betrachtungsweise der Beugung: Fresnel'scheZonenplattenkonstruktion bei einer kreisförmigen Öffnung

Wir betrachten eine ebene (Entfernung der Lichtquelle R'=) monochromatische Welle (Wellenlänge λ), die auf eine kreisförmige Öffnung mit dem Radius r fällt. Diesen Fall haben wir an anderer Stelle bereits für die Fraunhofer'scheBetrachtungsweise diskutiert.

Hier aber soll der Sichtschirm, auf dem wir das Beugungsmuster beobachten, nichtweit von der beugenden Öffnung entfernt positioniert sein. Die hier auftretendeFresnelbeugung wollen wir unsspeziell in einem Punkt P (Entfernung R) betrachten, der im Schirmzentrum, also auf der durch die Mitte derkreisförmigen Öffnung verlaufenden Achse liegt, wie in folgender Abbildung dargestellt.

Die gesamte Fläche der Öffnung stellen wir uns wieder von kohärenten,punktförmigen Huygens'schen Elementarwellenzentren ausgefüllt vor. Wellenzüge, die vonverschiedenen Kreisringgebieten der Öffnung emittiert werden, weisen bei ihrerÜberlagerung im Punkt P im Allgemeinen einen Laufweg- und damit einen Phasenunterschiedauf.

Wir teilen nun die Öffnung so in Kreisringgebiete ein, dass die von zweibenachbarten Gebieten emittierten Wellenzüge jeweils einen Gangunterschied von Δx=λ2 aufweisen. Diese Kreisringgebiete nennt man Fresnel'sche Zonen. Dazu schlagen wir Kreise um den Punkt P, die dieRadien Rm=R+mλ2 besitzen (für m=0,1,2,...). Die Schnittpunkte dieser Kreise mit derÖffnungsebene legen die begrenzenden Radien rm der einzelnen Kreisringgebiete (mit Flächen Am) fest, wie in der nächsten Abbildung zu sehen (diese ist wegen λR nicht maßstabsgetreu!).

Hierbei errechnet sich der begrenzende Radius rm der m-ten Fresnel'schen Zone Am zu: rm=Rm2R2=(R+mλ2)2R2=mRλ+(mλ2)2 In diesem Ausdruck können wir die quadratisch auftretende Wellenlänge λ wegen λR vernachlässigen und erhalten somit: rmmRλ

Fresnel'sche Zonenradien rm
Der begrenzende Radius rm der m-ten Fresnel'schen Zone Am beträgt: rmmRλ

Die sich so ergebende Einteilung einer kreisrunden Öffnung finden Sie in dernächsten Abbildung dargestellt, in welcher die ersten vier Fresnel'schen Zoneneingezeichnet sind.

Nehmen wir einmal an, wir hätten unsere Öffnung mittels einer Blende verkleinert,deren Durchmesser gerade d=2r2 beträgt. Dann würde lediglich durch die beiden ersten Fresnel'schen ZonenA1 und A2 hindurch Licht zu unserem Punkt P gelangen. Zu jedem Wellenzug, der dann vonder ersten Fresnel'schen Zone A1 emittiert würde, existerte in diesem Fall ein Wellenzug, der von der zweitenFresnelzone A2 mit einem relativen Gangunterschied von λ2 zum ersten emittiert würde, so dass beide destruktiv im Punkt P interferieren.In P würde unter diesen Umständen Dunkelheit herrschen, da sich die Beiträge der erstenund zweiten Zone gegenseitig aufheben.

Hinweis
Dass sich die Beiträge zweier benachbarter Fresnel'scher Zonen exaktkompensieren liegt daran, dass deren Flächen Am bzw. Am+1 gleich groß sind, wie man sich wie folgt überlegt: Am=πrm2πrm12=π(mRλ(m1)Rλ)=πRλ Aus dieser Gleichung ersieht man, dass die Fläche der m-ten Fresnel'scheZone unabhängig vom Parameter m ist.

Allgemein kompensieren sich so aufgrund der Zonenkonstruktion die Beiträgezweier direkt benachbarter Fresnelzonen.

Diese Eigenschaft macht man sich nun bei der Konstruktion einer so genanntenFresnel'schen Zonenplatte zu Nutze. Man blendet auf einer kreisförmigen durchsichtigenPlatte jede zweite Fresnel'sche Zone (z.B. durch Aufbringen lichtundurchlässigerSubstanzen) aus, deren Radien wie zuvor berechnet werden. So erreicht man, dass im PunktP nur Wellenzüge eintreffen, die dort miteinander konstruktiv interferieren.


Video: Optics V: Fresnel Diffraction II (Januar 2022).